家庭教師と学ぶ数学

学校や塾・予備校などの集団授業は、出来るだけ多くの生徒さんにとって役立つと思われる共通の情報を提供するよう工夫されています。 その反面、一人一人が抱える個別の弱点を発見・克服させるのは難しいといえます。 ところが、数学の問題が解けない理由というのは生徒さんによって千差万別です。 思わぬ所に潜む弱点を的確に指摘・改善してあげられなければ、本当の意味で数学の力を身につけることは出来ません。
また、集団授業には、周りの生徒さんと切磋琢磨することでモチベーション を高められるという利点もあります。 しかし仮に、自分が別の生徒さんと模試の点数や偏差値が同程度で、間違えた箇所が似通っていたとしても、間違える理由はやはりその別 の生徒さんとは違う所にあります。それに気づかないまま周りの生徒さんと同じような学 習を続けてしまっては、自分にとって本当に必要な学習を行うことが出来ず、せっかくの 努力が意味を成さなくなってしまいます。

参考書や問題集を用いて「独学」で数学の実力を高めようという生徒さんもいるでしょう 。 確かに良問を集めた問題集も沢山ありますし、模範解答が詳細に書かれたものも多く市販 されています。 ところが、この模範解答というものが実は厄介なのです。というのも、問題を解くために 頭の中で巡らす「思考のプロセス」と模範解答に記されている「論理のプロセス」は必ず しも一致しません。 「確かにこの方法で解くことが出来るけど、どう考えたらそれを思いつくことが出来るん だろう」 という問いに答えてくれる参考書や問題集は、なかなか見つかりません。

以上をふまえて、アルファ・ネクサスの家庭教師は次の3点を特に重視し、日々の授業 を実施しています。

１．単なる問題の解き方に留まらず、数学を学ぶこと自体の重要性を説き、 学習意欲を高めた上で授業に臨んでもらうこと。
２．個人ごとに異なる弱点をいち早く発見し、その生徒さんにとって最も適 切な学習方法を提案・実施すること。
３．参考書や問題集には載っていない「思考のプロセス」を伝授し、解答を最初から最後まで自分で作る力を養うこと。

これらのことを大切にしながら、一人一人の生徒さんとの対話を通して、様々な種類の「問題点」「弱点」を解決に導いています。 習熟度に応じてノートの取り方など細かい学習方法のアドバイスから、週・月・年単位の包括的な学習プランの作成まで 幅広くサポートしています。 一流のプロ家庭教師とともに学ぶことによって、一人一人の生徒さんが自分に必要な考え方や学習習慣を身につけ、成績アップ・志望校合格といった目標を達成することが出来るようになるのです。

学校（予備校を含む）に通う生徒さんであれば、学校の授業だけでその内容をどの程度理解出来るのかによって、家庭での学習の進め方も変わってきます。

ある程度学校で授業内容を理解出来るのであれば、家庭教師の授業では多くの場合、予習よりも復習を重点的に行うのが効率的です。公式が適用できる条件などの細かい所まで理解出来ているかどうかの確認や、応用的で難しい部分に絞った解説を行うことで、本当に必要な学習だけに時間を割くことが出来ます。

また生徒さんによっては、理解したつもりが実は大きな勘違いをしていたり、あるいは理解しようとし過ぎて変に細かい所にこだわったりして、意外な所でつまづいていることがあります。そのような生徒さんに対しては「その考え方のままでは少し捻った問題に当たった際に間違えてしまうので、ここはこう考えて解くようにしよう」、「この部分は、まず典型的な計算方法を覚えてしまってから、色々な問題を解く中で本質的な理解を深めていこう」など適切なアドバイスをすることで軌道修正を図り、よりスムーズに学習を進めることが出来るよう導きます。

逆に、学校の授業では内容がほとんど理解出来ないのであれば、家庭教師の授業では初歩的な内容から丁寧に予習して大事なポイントを押さえておくことにより、その後学校の授業で改めて学んで理解を深める方が良いでしょう。
学校の授業で理解出来ない原因としては、進むペースが速すぎる・扱う問題が難しすぎる・以前の学習内容を忘れている、など様々です。家庭教師との授業では必要に応じて、夏などの長期休暇中に未習分野の基本問題を多く解いたり、既習の重要な問題を復習しておくなどして、学校の授業についていくための土台作りをしておけば、家庭教師と学校の相乗効果でより効果的に学習を進めることが出来ます。

一方で、自宅浪人などのため家庭学習のみで受験勉強を進める生徒さんであれば、自由に学習が出来る分、どのようなペースで学習を進めるかという計画を立てることが重要です。ネクサスの家庭教師は生徒さんの学力を分析し、得意分野を伸ばして苦手分野をうまく補強出来るような、一人一人の生徒さんにぴったりの学習計画を立てることが出来ます。

初めから現時点での実力と目標とのバランスに基づいて綿密な計画を立て、それを完璧に実行しようと意気込むのも良いでしょう。ただ実際には学習を進めていくうちに、最初の計画よりももっと早く（あるいはゆっくりと）学習を進めたい、となる場合もあります。その際は問題集を進めるペースを変えるなどして、臨機応変に計画を調整することにより、常に生徒さんに合ったやり方で学習を進めることが出来ます。

このように、生徒さんの状況に合わせた学習スタイルをネクサスの家庭教師とともに確立することが、志望校合格への第一歩となります。その上で、家庭教師が数学に関する様々なアドバイスを行うことにより、生徒さんの数学の実力を高めていくことが出来ます。以下では、当社のプロ家庭教師が数学の学習において、生徒さんにアドバイスしている具体的な実例を、少しだけご紹介いたします。 数学の学習で伸び悩んでいる生徒さんはもちろん、数学が得意な生徒さんにとっても役立つ内容ですので、どうぞご覧ください。

大学受験の問題は特に大学ごとの特色が色濃く出ており、傾向に合わせた対策を行うことがとても重要になります。 例えば解答の形式がマーク形式か記述形式かによって、1点でも多く点を取るための方策は自ずと異なってきます。 また大学によっては、他大学が出題しない特徴的な問題を多く出題すること もあります。 問題集の演習や集団授業による学習だけでは、過去問対策がどうしても生徒さん自身の手に委ねられてしまいますので、過去問演習において家庭教師のアドバイス を受けることには特に大きな意義があります。 当社のプロ家庭教師は各志望校の過去問と生徒さんの実力差を見極めながら 、過去問に取り組む際に注意すべきポイントや追加で解いておくべき問題などを提示する ことで、志望校合格に向けた最も効率の良い学習プログラムを一人一人の生徒さんに伝授 しています。

融合問題を解く力は「いろいろな解法」を検討することで養われます。大学受験の数学では、複数の単元の知識を組み合わせて用いる融合問題が頻繁に出題されます。

「場合の数と確率」と「数列」の融合問題は定番です。微分・積分」の応用 問題は「極限」「指数・対数」など多くの単元の総合的な理解が必要になります。 また、図形の問題では、平面・空間の「ベクトル」や「図形と方程式」「三角関数」「複素数 平面」、さらには中学で学ぶ幾何の知識まで必要になることもあります。

こうした融合問題に対応するためには、まず「場合の数と確率」と「数列」 など頻出の融合問題を重点的に演習して身につける必要があります。 一方で、パターンに縛られない発展的な融合問題を解く力をつけるためには、普段問題を解く際に、模範解 答とは異なる「いろいろな解法」を検討するクセをつけることが大切です。
ベクトルの問題であれば、図形の性質に関する知識を使えばあっさり解けて しまう問題が多く存在します。 不等式を解く問題では、式変形よりもグラフを用いた方が考えやすい問題が頻繁にみられます（※以下に記す【数式に書かれていない内容こそ意識しよう】の問題もその一つです）。

どの解法が最も素早く楽に正解を導けるか、それぞれの解法に問題点がない か、常に検討することが大切になります。 このようなクセをつけることによって、問題を解く際に様々な単元の知識を網羅的に思い出すことができ、解法の糸口を見つけやすく なります。 当社のプロ家庭教師の授業においては必要に応じて「いろいろな解法」を紹 介し、生徒さんの数学知識の幅を広げます。また特に「いろいろな解法」を検討する価値 のある問題については、生徒さんと議論しながら、解法を考え出すプロセスを体験しても らっています。 関数の問題であれば式変形とグラフの両方を意識する、空間図形の問題では 方程式とベクトルそれぞれの解法を比較検討するなど、様々な経験を積み重ねることによ って融合問題との向き合い方を学んでください。

大学受験の数学では、高度な考え方が要求されるとともに、一般的に計算量もかなり多くなります。3,4個の文字が並ぶ文字式の変形、複雑な関数の微分、変則的な数列のΣ計 算などを正確に素早くこなさねばなりません。
特に、解答形式が答えだけを解答用紙に記述する形式の場合、どんなに考え方が正しくて も、途中の計算に1カ所でもミスがあれば部分点がもらえず不正解となってしまいます。

最後に合否を分けるのは計算力と言っても過言ではありません。 大学に合格するためには、計算力をつけるということも地味ながら非常に重要なことなのです。 計算ミスは集中力の欠如や不注意が原因で起きると考えられがちですが、単 に気合を入れて計算するだけではミスは減りません。
また慎重になりすぎると、今度は計算に時間がかかり過ぎてしまいます。 実際に計算を正確に素早くこなせるようになるには、計算方法を工夫することが重要です。

「間違えたらダメだと意識しよう」といった精神論ではなく、「計算式をこのように工夫 して書こう」という具体的な方策を立てることが重要になります。 計算ミスが生じてしまう原因は生徒さんによって様々なので、家庭教師が生徒さんの計算過程をチェックし、 どのように計算式を書くべきか適宜指示を与えます。

例えば、常に式をすべて展開しようとして項の数が多くなってしまうタイプの生徒さんに は、適度に括弧や因数分解を書きながら計算を進めることを指導していきます。
1行の計算で括弧外し・同類項のまとめなど多くの計算をし過ぎるためにミスが出る生徒さんには、1行で行う計算の種類を減らして書く量を増やすようアドバイスしています。

符号が逆になるなどのごく単純な間違いに気づかずにどんどん計算を進めてしまう生徒さ んには、1行ごとに検算しやすいよう同じ要素を縦に揃えて書くクセをつけてもらいます。

高次方程式の因数分解や三角関数の変形などでは、生徒さんの計算方法に非効率的な点が あれば、もっと効率の良い計算方法・書き方を覚えてもらいます。

計算ミスをなくすには、計算式の「書き方」を変えてみることが重要になります。 当社のプロ家庭教師は生徒さんにとって最も計算力が高まる「書き方」を見つけ出し、他の受 験生に差をつけています。

記述式答案を作成する際には、言葉の間に数式を書き入れて筋道を立てる必要があります。 言葉が少なすぎると解答者の理解度が不明な答案になってしまい、一方で言葉が多すぎると解答に時間がかかり過ぎてしまいます。

つまり過不足なく言葉を書き入れることが重要になります。 この論述の力は、模範解答を真似したり参考にしたりするだけではなかなか身に付きません。具体的な方法論を学ぶ ことによって記述力をつける必要があります。 記述式答案を作成する際に「何をどう書くべきか」で迷ったときは、多くの場合「文には主語がある」ということを意識すると良 いでしょう。

「直線l”が”点(1,2)を通るので」「t”は”(1)式を満たすから」のように、「何が」の部分 をちゃんと書くようにすることで、意図が明確な答案になります。
また、「(1)式より」「x>0 より」という言葉には一見主語が無いように見えますが、 実際には「(1)式”が”成り立つから」「x”が”0より大きいので」のように、意味としては主語・述語が含まれる言葉になっています。

さらに言葉をどこに書くべきか迷ったときは、「新しい式を書くときは必ず説明をする」 ことを意識してみると解決策が見えてくるものです。
単純な式変形をしているだけの所では、必要以上に言葉を書き入れる必要はありません。 一方で、それまでの式の変形を続けているのではなく、別の数式の式変形を開始する所・別の数式を代入する所では、その別の式を導入するという宣言・代入する理由などの説 明を書き加えるようにすると、筋の通った答案になります。 記述式答案を作成する練習をすると、論理を正確に把握出来るようになり、先述の「数式の中に隠されている言葉」 を理解することにもつながります。
家庭教師に答案を添削してもらうなどして論述力をつけるとともに、数学の論理について の理解を深めることが大切です。

次の問題は、何の変哲もない無理関数の方程式に見えますが、数学が得意な生徒さんでも頻繁に間違えてしまう問題です。
誤答例を示してありますが、どの部分が間違っているか指摘出来るでしょう か？

問題：方程式　√2x-1 = |x|-1　を解け。

解答例（誤答例）
√2x-1 = |x|-1 …(1) 　2x-1≧0 より x≧1/2. よって|x|=x. 両辺2乗して、 2x-1=x^2-2x+1 …(2)
整理して、 x^2-4x+2=0 …(3) 　解の公式より x=2±√2 (どちらもx≧1/2を満たす) …(答) これは誤答ですね。

問題点は(1)式と(2)式の間の「両辺2乗して」という所です。
そのまま式変形・計算を進めて答えを出してしまっていますが、「両辺2乗する」という変形を行う際には、正しくは次のように考える必要があります。

「xは(1)式を満たすので、少なくとも(2)式を満たす。しかし(2)式を満たすxすなわちx=2±√2が必ずしも(1)式を満たすとは限らない。 したがって、(2)式を満たすそれぞれのxが(1)式も満たすかどうかを検証する必要がある。

(2)式をみたすxが(1)式も満たすためには、(1)式の両辺の値の符号が等しくなければなら ない。
左辺≧0より右辺≧0、すなわちx≧1という条件が必要だ。よって答えはx=2+√2」 このように 言葉にするとかなり長くなりますね。

ただ単に式変形をしていっただけでは見落としてしまいがちな数学的論理を意識しなけれ ば、思わぬ所で誤答の原因が生じます。
式同士の関係には、ただ互いに変形しただけで全く同じ意味を表す、特定の 定義域・条件下でのみ同じ意味を表す、などの種類があります。 問題集などではあまり詳しく解説されないことが多いですが、数式以外の所に隠れている論理を意識するように しなければ、大学受験数学の高度な問題で完答にまで辿り着くことは出来ません。

また、数式同士の間だけでなく、数式内の細かい表記にも重要な意味が隠されていること があります。

2次方程式「 (x-1)(x-2)=0」の解は「x=1,2」ですが、この「x=1,2」とは「x=1"または"x=2」という意味になります。

一方で、連立方程式「x+y=3, 2x+y=5」の解は「x=2,y=1」と表せますが、この「x=2,y=1」とは「x=2"かつ"y=1」を表します。

同じ記号「,」が、場合によって"または"の意味になったり"かつ"の意味になったりします。

このように数式においては、記号であっさり記述されている部分にも実は細かい意味が隠 されており、それらを正確に把握することによって、高度な内容が理解出来るようになり ます。 問題を解くときは、今まで以上に、数式の中に書かれていない内容まで意識すると更に得点力がアップします。

当社では、プロ家庭教師とともに問題を解き進めながら、数式の中に隠されている論理や 意味を知り、正解を導く訓練を行うことで生徒さんの実力を高めています。

長々と記してきましたが、まずは当社の無料体験授業をお試しいただくことで、少しでも 数学の悩みが減ることを願っております。